công thức moa vrơ
1. Về kiến thức: • Hiểu rõ khái niệm acgumen của số phức • Hiểu rõ dạng lượng giác của số phức • Biết công thức nhân , chia số phức dưới dạng lượng giác • Biết công thức Moa - vrơ và ứng dụng của nó 5 trang | Chia sẻ: manphan | Lượt xem: 960 | Lượt tải: 0
Công thức Moa-vrơ và ứng dụng. Hướng dẫn học sinh xem SGK trang 204. a) Công thức Moa-vrơ. b) Ứng dụng vào lượng giác. c) Căn bậc hai của số phức dưới dạng lượng giác. Học sinh trả lời (ghi công thức) và giải bài tập. Học sinh xem SGK.
Nhưng bạn lại không biết hồ sơ pháp lý thành lập công. Bạn vừa mới starup và muốn khởi nghiệp bằng cách tự tạo lập cho riêng mình một cơ sở kinh doanh riêng. Nhưng bạn lại không biết hồ sơ pháp lý thành lập công . Menu.
Thời gian công tác (Từ - đến) Số lượt người tham gia tính theo nội dung công tác Giảng dạy Học tập nghiên cứu Tham dự hội nghị hội thảo Dự án/ Chương trình Khác Họ tên Giảng viên/ Chuyên gia (10) EF Tổng số lượng người theo quốc tịch XYZ
Giáo án lớp 12 môn Toán - Tiết 75, 76 - Bài 6: Công thức moa - vrơ I/Mục tiêu: - Kiến thức: Nắm vững dạng lượng giác của số phức, từ đó nắm vững cách tính tích, nghịch đảo, thương của hai số phức cho trước dưới dạng lượng giác, nắm vững công thức Moa - vrơ và ứng dụng của nó.
Wie Kann Ich Deutsche Frauen Kennenlernen. cosϕ + = cosnϕ + dụng vào lượng giác Ta cócosϕ + = cos3ϕ + khác, sử dụng khai triển lũy thừa bậc ba ta đượccosϕ + = cos3ϕ + 3cos2ϕ. + 3cosϕ. + đó, suy racos3ϕ = cos3ϕ − = 4cos3ϕ − 3cosϕ,sin3ϕ = − sin3ϕ = 3sinϕ − bậc hai của số phức dưới dạng lượng giác Số phức z = rcosϕ + r > 0 cóhai căn bậc hai là ϕϕϕϕϕϕr cos + ÷ và − r cos + ÷ = r cos + π ÷+ + π ÷ .22222 2B PHƯƠNG PHÁP GIẢI CÁC DẠNG TỐN LIÊN QUANĐ1. SỐ PHỨCD¹ng to¸n 1Số phức và thuộc tính của nóPhương phápVới số phức z = a + bi, các dạng câu hỏi thường được đặt ra làDạng 1 Xác định phần thực và phần ảo của số phức z. Khi đó, ta có ngay Phần thực bằng a. Phần ảo bằng ý Một câu hỏi ngược là "Khi nào số phức a + bi là số thực, số ảo hoặc bằng 0",khi đó ta sử dụng kết quả trong phần chú ý sau định nghĩa 2 Hãy biểu diễn hình học số phức zKhi đó, ta sử dụng điểm Ma; b để biểu diễn số phức z trên mặt phẳng ý Một câu hỏi ngược là "Xác định số phức được biểu diễn bới điểm Ma; b", khiđó ta có ngay số z = a + 3 Tính mơđun của số phức z, khi đó, ta có ngay z = a2 + b2 .Dạng 4 Tìm số đối của số phức z, khi đó, ta có ngay −z = −a − 5 Tìm số phức liên hợp của z, khi đó, ta có ngay z = a − định các số phức biểu diễn bởi các đỉnh của một tam giác đều có tâm là gốc toạ độO trong mặt phẳng phức, biết rằng một đỉnh biểu diễn số −i. GiảiGiả sử tam giác đều ABC như trong hình vẽ thỏa mãn điều kiện đầu bài, khi đó giảsử đỉnh A0; −1 biểu diễn số phức − a 3Gọi a là độ dài cạnh ABC, ta có .= AO = 1 ⇔ a = 2Từ đó suy ray3 131; ÷ Đỉnh B −BC÷ là số phức z B = − 2 + 2 i. 2 2Ox 3 13 1; ÷ Đỉnh C làsốphứczC =+ i.÷2 2−1 A 2 2Dạng 6 Tìm số phức nghịch đảo của z, khi đó, ta có ngay z−1 =D¹ng to¸n 2Phương phápCác phép tốn về số phức Sử dụng định nghĩa cùng với tính chất của các phép tốn cộng, trừ nhân, chia trêntập số ta có các hằng đẳng thức a + bi a − bi = .a2 + b2 = a2 − bi2 = 14 2 + bi2 = a2 − b2 + 2abi;a − bi2 = a2 − b2 − 2abi.a + bi3= a3 − 3a + 3a2b − b3i; a − bi3= a3 + 3a − 3a2b + b3 phần thực phần ảo của số phức z = x + iy2 – 2x + iy + 5 với x, y ∈ ¡ .Với x, ynào thì số phức đó là số thực ? Giảia. Ta biến đổiz = x2 + 2xyi − y2 – 2x + 2yi + 5 = x2 − y2 − 2x + 5 + 2yx − 1 nó có phần thực bằng x2 − y2 − 2x + 5 và phần ảo bằng 2yx − 1.b. Số phức đã cho là số thực điều kiện là2yx − 1 = 0 ⇔ x = 1 hoặc y = 2i 1− i+Tìm phần thực phần ảo và mơđun của số phức z =.1− i 3− 2i GiảiTa có thể trình bày theo hai cách sauCách 1 Ta biến đổi3+ 2i1+ i 1− i3 + 2i1+ 5i 5 − i23 63+++ 2623634498Vậy nó có phần thực bằng, phần ảo bằngvà môđun 2 Ta biến đổi3+ 2i3− 2i + 1− i213− 2i13− 2i1+ 5iz===1− i3− 2i1− 5i26123 6323+ 63i =+ i.=2626 2623634498Vậy nó có phần thực bằng, phần ảo bằngvà mơđun điểm biểu diễn các số phức saua. z =2+ i2+22−i .b. z =2+ i −3 Giảia. Ta có thể trình bày theo các cách sauCách 1 Ta biến đổiz=2+ i2+2−i2= 2 + 2i 2 + i2 + 2 − 2i 2 + i2 = điểm M2; 0 biểu diễn số phức 2 Ta biến đổiz=2+ i2+ i22+2−i2−i22= 2 +i+2 – i2 − 2 2 + i 2 – i= 8 − 22 − i2 = điểm M2; 0 biểu diễn số phức 3 Ta biến đổiz=+= 2 + i − 2 + i2 + 2 2 + i2 – i= 4i + 22 − i = điểm M2; 0 biểu diễn số phức Ta có thể trình bày theo các cách sauCách 1 Ta biến đổi2z=2 332 + i − 2 − i = 2 2 + 6i + 3i 2 2 + i3 − 2 2 − 6i + 3i 2 2 − i3= 12i + 2i3 = 12i − 2i = 10i.32−i . Vậy, điểm N0; 10 biểu diễn số phức 2 Ta biến đổiz=2+ i −32− i3= 2 + i – 2 + i3 + 3 2 + i 2 – i 2 + i –= 8i3 + 6i2 − i2 = −8i + 18i = điểm N0; 10 biểu diễn s phc toán 32 + iChng minh tich cht của số phứcPhương phápSử dụng các phép toán trên tập số phức cùng những tính chất của minh rằng phần thực của số phức z bằng z + z , phần ảo của số phức z bằng21z – z .2i GiảiVới số phức z = a + bi a, b∈ ¡ , ta có111z + z = a + bi + a + bi = a + bi + a − bi = a − là phần thực của – z = a + bi − a + bi −i = b − là phần ảo của A, B theo thứ tự là các điểm của mặt phẳng phức biểu diễn số z ≠ 0 và z' =Chứng minh rằng OAB là vuông cân O là gốc toạ độ.1+ GiảiTa lần lượt cóuuurOA = OA = z ,uuur1+ i1+ iz =z = 2 z ,OB = OB =222uuuruuur uuur1+ i−1+ iz− z =z = 2 z .AB = AB = OB − OA =222Từ đó, suy ra OB = AB và22 2 2 OB + AB = z +z = z 2 = OA2 ⇔ OAB là vuụng cõn ti B. 2 ữữ 2 ữữ 22Dạng to¸n 4Tập hợp điểmPhương phápCâu hỏi thường được đặt ra là "Xác định tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểudiễn các số phức z thỏa mãn điều kiện K".Khi đóDạng 1 Số phức z thỏa mãn biểu thức về độ dài mơđun. Khi đó, ta sử dụng cơngthức z = a2 + b2 .Dạng 2 Số phức z là số thực thực âm hoặc thực dương, số ảo. Khi đó, ta sử dụng kếtquảa. Để z là số thực điều kiện là b = Để z là số thực âm điều kiện làa 0.b = 0d. Để z là số ảo điều kiện là a = 0. Chú ý Để tăng độ khó cho yêu cầu về tập hợp điểm, bài toán thường được cho dướidạng một biểu thức định tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số phức z sao cho z2a. Là số Là số thực Là số thực Có mơđun bằng 1. GiảiVới số phức z = x + yi x, y∈ ¡ , ta cóz2 = x + yi2 = x2 − y2 + Để z2 là số ảo điều kiện làx − y = 0x2 − y2 = 0 ⇔ x − yx + y = 0 ⇔ .x + y = 0Vậy, tập hợp điểm các điểm M thuộc hai đường phân giác của góc giữa trục thực,trục Để z2 là số thực dương điều kiện là x2 − y2 > 0x ≠ 0⇔.y = 0 xy = 0Vậy, tập hợp điểm M thuộc trục Ox trục thực trừ gốc Để z2 là số thực âm điều kiện là x2 − y2 3và sinϕ =⇒ chọn ϕ = .232ππTừ đó, suy ra z = 2 cos + ÷ và khi đó33 πππ π z = 2 cos − ÷ = 2 cos − ÷+ − ÷ ;33 3 3ππππ4π4π –z = −2 cos + ÷ = 2 − cos − ÷ = 2 cos + ÷;33333311 ππ1ππ1z = .2 cos + ÷ = cos + ÷;=4 33233 ππnÕuk > 02k cos 3 + 3 ÷ kz = . −2k cos4π + 4π nÕuk 0 và là ϕ + π nếu k 0 krcosϕ + = . − kr[cosϕ + π + + π] nÕuk < 0Cho hai số phức z1 = 1 + i và z 2 = 3 + i .a. Tìm dạng lượng giác của z1, Sử dụng kết quả trong a tính z1z 2 , z .2 Giảia. Ta lần lượt có1 1ππ+i ÷ = 2 cos + ÷ ,z1 = 1 + i = 2 442 2 3 1 ππ+ i÷= 2 cos + ÷.z 2 = 3 + i = 2 ÷66 2 2 b. Ta lần lượt có π π5π5π π π z1z 2 = cos + ÷+ + ÷ = 2 2 cos + ÷ ,1212 4 6 4 6z12 π π2ππ π π =cos − ÷+ − ÷ =cos + ÷.z22 4 62 1212 4 6 Chú ý Nếu thực hiện các phép tốn trên dưới dạng đại sốa. Ta có 3 − 1 + 3 − 1 3 + 1 2+iz1z 2 = 1 + i=23 +i =3 +1 i 2 22 2 3 −15π 3 + 15π= cos ,= sin .từ đó, suy ra12122 22 2b. Ta có 1 + i 3 − i 1 z11+ i===z2443+i= 3 +1 + i 2 3 −12 2 3 +1+2 44từ đó, suy ra24 = cos π , 2 3 +1123 −1 i = sin π .3 −1412
Bài viết hướng dẫn cách áp dụng công thức Moa-vrơ Moivre để tính căn bậc n của số phức thông qua quá trình thiết lập công thức tổng quát và các ví dụ minh họa đi kèm có lời giải chi tiết. Xem thêm Domain Liên kết Hệ thống tự động chuyển đến trang sau 60 giây Tổng 0 bài viết về có thể phụ huynh, học sinh quan tâm. Thời gian còn lại 000000 0% Bài viết liên quan Công thức moivre Vườn Toán Công thức Moivre Hằng đẳng thức sau đây gọi là công thức Moivre, đây là một công thức rất quan trọng về số phức B ây giờ chúng ta làm một số bài tập. Bài toán 1 Giải phương trình bậc hai rồi đưa nghiệm phức về dạng l Xem thêm Chi Tiết Top 19 Công Thức Moivre - Interconex Oct 15, 2022Phương phápTa sử dụng dụng công thức Moivre vào dạng lượng giác,. Khớp với kết quả tìm kiếm Công thức zn = rn [ cosφ + isin φ] được gọi là công thức Moiver. Trích nguồn … 13. Giải các Xem thêm Chi Tiết De Moivre's formula - Wikipedia In mathematics, de Moivre's formula also known as de Moivre's theorem and de Moivre's identity states that for any real number x and integer n it holds that where i is the imaginary unit i2 = −1 Xem thêm Chi Tiết Abraham de Moivre - Nhà toán học với công thức Moivre Năm 1733 de Moivre đề xuất công thức ước tính một giai thừa là n! = Cn n +1 / 2 e - n. Ông thu được một biểu thức với c không đổi. Sau đó James Stirling người tìm ra c là √ 2 π.De Moivre cũng xuất b Xem thêm Chi Tiết Abraham de Moivre - Nhà toán học với công thức Moivre Năm 1733 de Moivre đề xuất công thức ước tính một giai thừa là n! = Cn n +1 / 2 e - n. Ông thu được một biểu thức với c không đổi. Sau đó James Stirling người tìm ra c là √ 2 π.u000bDe Moivre cũng x Xem thêm Chi Tiết Công thức Moivre Dạng mũ của số phức - Tài liệu text Công thức Moivre Cho một số phức bất kì dưới dạng lượng giác os isin z r c ϕ ϕ = + , theo cơng thức ở trên ta có [ os isin ] osn isin , n n n z r c r c n n N ϕ ϕ ϕ ϕ = + = + ∀ ∈ Công thức trên đ Xem thêm Chi Tiết Định lý của Moivre về những gì bao gồm, trình diễn và giải bài tập Biểu thức được đơn giản hóa z 1 z 2 = 28 * cos 150 o + tôi * 150 sen o . Cuối cùng, định lý Moivre được áp dụng z1 * z2 ² = 28 * cos 150 o + tôi * 150 sen o ² = 784 cos 300 o + tôi * 3 Xem thêm Chi Tiết Vườn Toán Công thức lượng giác cho góc bội Công thức Moivre về số phức S ố phức có dạng tổng quát là ví dụ như Số gọi là phần thực, còn số gọi là phần ảo. Các phép tính cộng trừ nhân chia của số phức cũng giống như số thực, chỉ có điều bạn nên Xem thêm Chi Tiết Toán 12 - Chứng minh công thức định lí Moivre - YouTube Toán 12 - Chứng minh công thức định lí Moivre - YouTube 000 / 2341 Toán 12 - Chứng minh công thức định lí Moivre 1,267 views Jan 23, 2020 Thầy Nguyễn Văn Tây website Xem thêm Chi Tiết Ứng dụng của công thức Moivre - Tài liệu text Ứng dụng của công thức Moivre. Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây KB, 105 trang cos5 t 10cos3 t 1 cos 2 t 51 cos 2 t 2 Xem thêm Chi Tiết
Sau đây Kiến thức Số phức xin thu thập lại các sĩ tử về Áp dụng công thức Moa-vrơ để tính căn bậc n của số phức, thông tin được tham khảo từ nhiều nguồn, Nếu bạn thấy hay hoặc cần thông tin gì vui lòng để lại comment bình luậnBài viết hướng dẫn cách áp dụng công thức Moa-vrơ Moivre để tính căn bậc $n$ của số phức thông qua quá trình thiết lập công thức tổng quát và các ví dụ minh họa đi kèm có lời giải chi thêm + Viết số phức dưới dạng lượng giác + Tìm căn bậc hai của một số phứcPhương pháp1. Tính căn bậc hai của số phức Căn bậc hai của số phức $z$ là số phức $w$ thỏa $w^2 = z$. + Căn bậc hai của $0$ bằng $0.$ + Với $z ne 0$ và $z = rcrm{os}varphi + i sin varphi $ với $r > 0.$ Đặt $w = Rcrm{os}theta + i sin theta $ với $R > 0$ thì ${rm{w}^2} = z$ ⇔ $R^2crm{os}2theta + i sin 2theta = rcrm{os}varphi + i sin varphi $ $ Leftrightarrow left begin{arrayl R^2 = r\ 2theta = varphi + k2pi , k in Z endarray right.$ $ Leftrightarrow left begin{arrayl R = sqrt r \ theta = fracvarphi 2 + kpi , k in Z endarray right.$ Từ đó suy ra Số phức $z = rcrm{os}varphi + isin varphi $ có $2$ căn bậc hai là ${rm{w}_1} = sqrt r left c{rm{os}fracvarphi 2 + isin fracvarphi 2} right$ và ${rm{w}_2} = sqrt r left c{rm{os}left frac{varphi 2 + pi } right + i sin left frac{varphi 2 + pi } right} right$ $ = – sqrt r left c{rm{os}fracvarphi 2 + isin fracvarphi 2} right.$2. Tính căn bậc $n$ của số phứcCăn bậc $n$ của số phức $z$ là số phức $w$ thỏa $w^n = z$. Với $z ne 0$ và $z = rcrm{os}varphi + i sin varphi $ với $r > 0.$ Đặt $w = Rcrm{os}theta + i sin theta $ với $R > 0$ thì ${rm{w}^n} = z Leftrightarrow R^ncrm{osn}theta + i mathop{rm sinnnolimits} theta $ $ = rcrm{os}varphi + i sin varphi $ $ Leftrightarrow left begin{arrayl R^n = r\ ntheta = varphi + k2pi , k in Z endarray right.$ $ Leftrightarrow left begin{arrayl R = sqrt[n]r\ theta = fracvarphi n + frac{k2pi }n, k in Z endarray right.$ Bằng cách chọn $k = 0, 1, 2, …, n-1$ ta được $n$ căn bậc $n$ của $z$ là $w_1 = sqrt[n]rleft cos frac{varphi n + isin fracvarphi n} right.$ $w_2$ = $sqrt[n]rleft cos left {frac{varphi n + frac{2pi }n} right + isin left frac{varphi n + frac{2pi }n} right} right.$ ….. $w_n$ = $sqrt[n]rcos left frac{varphi n + frac{2pi n – 1}n} right$ $ + isin left frac{varphi n + frac{2pi n – 1}n} right.$adsbygoogle = [].push;Ví dụ 1. Tìm căn bậc hai của số phức sau và viết dưới dạng lượng giác $rm{w} = frac12 + frac{sqrt 3 }2i.$Ta có $w = frac12 + frac{sqrt 3 }2i = cos fracpi 3 + isin fracpi 3.$ Đặt $z = rleft cos varphi + isin varphi right$ với $r > 0$ là một căn bậc hai của $w$, ta có $z^2 = w$ ⇔ $r^2left cos 2varphi + isin 2varphi right$ $ = cos fracpi 3 + isin fracpi 3$ $ Leftrightarrow left begin{arrayl r = 1\ 2varphi = fracpi 3 + k2pi ,k in Z endarray right.$ $ Leftrightarrow left begin{arrayl r = 1\ varphi = fracpi 6 + kpi ,k in Z endarray right.$ Vậy $w$ có hai căn bậc hai là $z_1 = cos fracpi 6 + isin fracpi 6$ và $z_2 = cos frac{7pi }6 + isin frac{7pi }6.$Ví dụ 2. Tính căn bậc ba của số phức sau và viết dưới dạng lượng giác $w = – 1 + isqrt 3 .$Ta có $w = – 1 + isqrt 3 = 2left – frac{12 + ifrac{sqrt 3 }2} right$ $ = 2left cos frac{{2pi }3 + isin frac{2pi }3} right.$ Suy ra $w$ có môđun $R = 2$ và một acgumen $theta = frac{2pi }3.$ Do đó, căn bậc ba của $w$ là số phức $z$ có môđun $r = sqrt[3]2$ và một acgumen $phi = fractheta 3 + frac{k2pi }3 = frac{2pi }9 + frac{k2pi }3,k in Z.$ Lấy $k = 0,1,2$ thì $varphi $ có ba giá trị $varphi _1 = frac{2pi }9$, $varphi _2 = frac{2pi }9 + frac{2pi }3 = frac{8pi }9$, $varphi _3 = frac{2pi }9 + frac{4pi }3 = frac{14pi }9.$ Vậy $w = – 1 + isqrt 3 $ có $3$ căn bậc ba là $z_1 = sqrt[3]2left cos frac{{2pi }9 + isin frac{2pi }9} right$, $z_2 = sqrt[3]2left cos frac{{8pi }9 + isin frac{8pi }9} right$, $z_3 = sqrt[3]2left cos frac{{14pi }9 + isin frac{14pi }9} right.$Ví dụ 3. Tính căn bậc bốn của số phức sau và viết dưới dạng lượng giác $w = i.$Ta có $w = i = cos fracpi 2 + isin fracpi 2$ có môđun $R = 1$ và một acgumen $theta = fracpi 2.$ Suy ra căn bậc bốn của $w$ là số phức $z$ có môđun $r = 1$ và một acgumen $varphi = fractheta 4 + frac{k2pi }4 = fracpi 8 + frac{kpi }2,k in Z.$ Lấy $k = 0,1,2,3$ ta có $4$ giá trị của $varphi$ $varphi _1 = fracpi 8$, $varphi _2 = fracpi 8 + fracpi 2 = frac{5pi }8$, $varphi _3 = fracpi 8 + pi = frac{9pi }8$, $varphi _4 = fracpi 8 + frac{3pi }2 = frac{13pi }8.$
1 [TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!! ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn. Dạng lượng giác của số phức được sử dụng nhằm khai căn số phức hoặc tính lũy thừa bậc cao của số phức một cách dễ dàng hơn. Nó là 1 cách biểu diễn khác của số phức. Cụ thể ta đã biết số phức z=a+bi có điểm biểu diễn trên mp tọa độ Oxy là Ma;b Giờ ta gọi góc tạo bở OM và Ox là góc [tex]\theta[/tex] Như vậy, độ dài a đại diện cho phần thực, còn b đại diện cho phần ảo của số phức. Ta có b=MH , a=OH , áp dụng lượng giác thì ta có [tex]a=OMcos\theta ; b=OMsin\theta[/tex] Mà theo Pitago ta có [tex]OM=\sqrt{a^2+b^2}[/tex] Như vậy bây giờ số phức [tex]z=a+bi=\sqrt{a^2+b^2}cos\theta+i. sin\theta[/tex] Đặt [tex]r=\sqrt{a^2+b^2}[/tex] , có thể thấy r là module của số phức z, lúc này z được biểu diễn dưới dạng lượng giác là [tex]z=rcos\theta+ với [TEX]\theta[/TEX] được gọi là 1 acgument của số phức z. Bởi vì tính chất tuần hoàn chu kì [tex]2\pi[/tex] của hàm cos và sin nên họ acgument của số phức z là [tex]\theta+k2\pi k\epsilon Z[/tex] [TEX]\theta[/TEX] được xác đinh bởi [tex]cos\theta=\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}, sin\theta=\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}[/tex] Ví dụ dạng lượng giác của số phức z=[tex]1+\sqrt{3}i[/tex] là? Ta có [tex]z=2\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i=2cos\frac{\pi }{3}+sin\frac{\pi }{3}[/tex] Vậy số phức z có module là 2 và Acgument là [TEX]\frac{\pi }{3}[/TEX] Công thức Moa-Vrơ và ứng dụng. Ta có công thức sau với dạng lượng giác của số phức [tex]z=rcos\theta + Công thức này rất hữu dụng trong việc ta tính lũy thừa bậc cao hay khai căn của một số phức. Trở lại ví dụ ban đầu, cho [tex]z=1+\sqrt{3}i[/tex] . Tính [tex]z^{10}[/tex] Có thể thấy nếu như ta không đưa về lượng giác mà tính thông thường [tex]1+\sqrt{3}i^{10}[/tex] Thì việc klhai triển và tính toán mất rất nhiều thời gian, thậm chí không tính được. Tuy nhiên khi đưa về dạng lượng giác thì mọi chuyện lại rất dễ dàng [tex]z=2cos\frac{\pi }{3}+ }{3}=>z^{10}=2^{10}cos\frac{10\pi }{3}+ }{3}[/tex] Vậy cách làm chung với các bài toán tính bậc cao của số phức z, đó là đưa z về dạng lượng giác, sau đó áp dụng công thức Moa-Vrơ Bài toán tính khai căn số phức. Vẫn tương tự bài toán tính bậc cao của số phức, tuy nhiên có lưu ý nhỏ sau đây. Vẫn sử dụng z đã cho ở trên, giờ ta tính [tex]\sqrt[4]{z}[/tex] Ta có [tex]\sqrt[4]{z}=z^{\frac{1}{4}}=2^{\frac{1}{4}}cos\frac{1}{4}\frac{\pi }{3}+\frac{k2\pi }{4}+ }{3}+\frac{k2\pi }{4}=\sqrt[4]{2}cos\frac{\pi }{12}+\frac{k\pi }{2}+ }{12}+\frac{k\pi }{2}[/tex] Như vậy lúc này thay 4 giá trị tương ứng là k=0,1,2,3 ta thu được 4 số phức tương ứng. Với k từ 4 trở đi thì chu kì lượng giác lại lặp lại Vậy tại sao khi khai căn lại cần thêm họ acgument số phức, trong khi lũy thừa lên lại không cần. Đó là bởi vì khi lũy thừa lên ta có được họ acgument là [tex]n\theta +nk2\pi[/tex] . Lúc này [TEX]nk2\pi [/TEX] thì dù k bằng bao nhiêu thì vẫn là 1 số nguyên lần chu kì, không ảnh hưởng gì, nên bỏ đi Còn khi khai căn thì họ acgument lúc này có [tex]\frac{k2\pi }{n}[/tex] , với các k khác nhau từ 0 đến n-1, cho ta các số phức khác nhau. Nói cách khác, thì lũy thừa của 1 số phức lên chỉ có 1 kết quả, còn khai căn bậc n số phức, cho ta n số phức kết quả. KB Đọc 88
3. Tiến trình bài học Nội dung Hoạt động 1 Kiểm tra bài cũ. Hoạt động 2 Công thức Moa-vrơ. Hoạt động 3 Ứng dụng vào lượng giác. Hoạt động 4 Căn bậc hai của số phức. Hoạt động 5 Củng cố bài học. Bài giảng chi tiết Hoạt động 1 Kiểm tra bài cũ Bạn đang xem nội dung Toán 10 - Dạng lượng giác của số phức và ứng dụng, để tải tài liệu về máy bạn hãy click vào nút TẢI VỀDẠNG LƯỢNG GIÁC CỦA SỐ PHỨC VÀ ỨNG DỤNG 1. Mục tiêu Kiến thức - Nắm được công thức Moa-vrơ. - Ứng dụng công thức Moa-vrơ vào lượng giác và một số lĩnh vực khác. Kỹ năng - Biết cách vận dụng công thức Moa-vrơ vào lượng giác, tính luỹ thừa số phức, tính căn bậc hai.. Tư duy thái độ - Tích cực tham gia vào bài học, có tinh thần hợp tác. - Rèn luyện tính toán, tư duy logic, tinh thần ham học hỏi, sáng tạo, chính xác. 2. Chuẩn bị của Giáo viên và Học sinh - Dụng cụ học tập, tài liệu học tập. - Một số bài tập ứng dụng - Phương pháp dạy học truyền thống thuyết trình, trực quan kết hợp gợi mở vấn đề. 3. Tiến trình bài học Nội dung Hoạt động 1 Kiểm tra bài cũ. Hoạt động 2 Công thức Moa-vrơ. Hoạt động 3 Ứng dụng vào lượng giác. Hoạt động 4 Căn bậc hai của số phức. Hoạt động 5 Củng cố bài học. Bài giảng chi tiết Hoạt động 1 Kiểm tra bài cũ Hoạt động của Học sinh Hoạt động của Giáo viên - Lắng nghe, hiểu đề bài. - Làm bài, nhận xét bài bạn. - Lời giải Bài 1 z2 = zz = 3cos + i sin.3cos + i sin = 9cos + + i sin + = 9cos2 + i sin2 z3 = z z z = z2 z = 9cos2 + i sin 23cos2 + i sin = 27cos3 + i sin3 = 27cos + i sin Bài 2 W2 = rcos + i sin. rcos + i sin = r2 cos2 + i sin2. - Đưa ra bài tập, gọi Học sinh lên bảng. Yêu cầu học sinh khác làm Bài 1 Cho z = 3cos + i sin. Tính z2, z3. Bài 2 Cho w = rcos + i sin. Tính w2. - Nhận xét bài làm của Học sinh. - Đưa ra gợi ý nếu cần Luỹ thừa thực chất là phép nhân các thừa số giống nhau, như vậy nên sử dụng công thức nào? Hoạt động 2 Công thức Moa-vrơ Hoạt động của Học sinh Hoạt động của Giáo viên - Lắng nghe, hiểu nhiệm vụ, làm bài. w3 = w2 w = r2cos2 + i sin2rcos + i sin = r3cos3 + i sin3. w4 = w3 w = r3cos3 + i sin3rcos + i sin = r4cos4 + i sin4. - Modun của w2, w3, w4 lần lượt là luỹ thừa 2, 3, 4 của w. Argument của w2, w3, w4 lần lượt gấp 2, 3, 4 lần argument của w. Ghi nho CT wn = rncosn + i sinn 1 - Với n = 2 ta có W2 = r2 cos2 + i sin2. Lời giải 1+i = + = cos + i sin Áp dụng công thức Moa-vrơ 1+i = [cos + i sin]5 = 5cos5 + i sin 5 Vậy 1+i =5cos5 + isin5 Tiếp tục yêu cầu học sinh tính w3, w4. - Yêu cầu Học sinh so sánh modun, argument của w2, w3, w4 với w? - Liệu rằng chung ta co the tinh duoc Wn Khẳng đinh Bằng quy nạp người ta đã chứng minh được rằng công thức 1 là đúng. voi n = 2 ,3,4 ta da o tren Kết luận Công thức 1 được gọi là công thức Moa-vrơ. - Vận dụng công thức trên làm ví dụ sau VD Tính 1+i5 - Gợi ý Học sinh Muốn thực hiện công thức Moa-vrơ số phức phải có dạng nào? Vậy biểu diễn dạng lượng giác của số phức 1+i rồi tính kết quả. Kết luận Có thể tính luỹ thừa của một số phức bất kỳ dựa vào công thức Moa-vrơ. Hoạt động 3 Ứng dụng vào lượng giác Hoạt động của Học sinh Hoạt động của Giáo viên Nhóm 1 cos + i sin3 = cos3 + 3cos2 isin +3 i2 sin2 cos + isin3 = cos3 - 3sin2 cos + i3cos2sin - sin3 = 4cos3 - 3cos + i3sin - 4sin3 Nhóm2 cos + i sin3 = cos3 + i sin3 - Học sinh so sánh và rút ra kết luận cos3 = 4cos3 - 3cos 3 sin3 = 3sin - 4sin3 3’ -Chia nhóm Nhóm 1khai triển ct - cos + i sin3 ? -Nhóm2 áp dụng ct moa-vrơ tính cos + i sin3 -yêu cầu nhóm 1 và nhóm 2 so sánh kết quả Khẳng đinh Đây là hai cách biểu diễn khác nhau của cùng một số phức nên chúng phải bằng nhau. - Vậy ta có thêm 1cách biêu diễn cos3, sin3 qua cos, sin. Kết luận Tương tự bằng cách đối chiếu công thức khai triển luỹ thừa bậc n của cos + i sinn với công thức Moa-vrơ có thể biểu diễn cos n, sinn theo các luỹ thừa của cos, sin. Hoạt động 4 Căn bậc hai của số phức Hoạt động của Học sinh Hoạt động của Giáo viên Liên hệ kiến thức cũ. Suy nghĩ và phán đoán kết quả. W2 = r2 cos2 + i sin2. z = rcos + i sin = [cos + i sin]2. - Vậy z có 2 căn bậc hai là cos + i sin; -[cos + i sin] hay [cos + + i sin+] Lời giải z = - i = cos7 + i sin7 Khi đó z có hai căn bậc hai là cos7 + i sin7 và - cos7 + i sin7. Lời giải a. z = cos + i sin = cos+ i sin 2 Vậy z có hai căn bậc hai là cos+ i sin; - cos+ i sin b. z = + Đặt cos a = ; sin a = . Khi đó ta có z = cos a + isin a = [cos + isin ]2 Vậy z có hai căn bậc hai là [cos + isin ] và -[cos + isin ] - Yêu cầu Học sinh nhắc lại thế nào là căn bậc hai của 1 sô? 1 số có mấy căn bậc 2. Đối với số phức thì sao? - Cho w= rcos + i sin, w=- rcos + i sin, r> 0 tinh W2 cho z= rcos + i sin, r>0; Áp dụng công thức Moa-vrơ biểu diễn z thành bình phương của một số. Kết luận Ta có thể tìm căn bậc hai của một số phức theo công thức trên. VD Tìm căn bậc 2 của z = 1 – i Hướng dẫn Học sinh Viết z dưới dạng lượng giác. Áp dụng công thức đã nêu trên. - Gọi Học sinh lên bảng làm nếu còn thời gian Bài 1 Tìm căn bậc 2 của z biết a. z = 1 b. z = 3 + 4i Hoạt động 5 Củng cố bài học Tổng kết - Nhắc lại công thức Moa-vrơ - Cách tính luỹ thừa của một số phức - Cách tìm căn bậc hai của một số phức - Ứng dụng của công thức Moa-vrơ vào lượng giác. Bài tập về nhà - Bài 32 đến 36 Sách Giáo khoa. Hướng dẫn Học sinh làm bài nếu còn thời gian.
công thức moa vrơ
